2026年5月，国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国学者贡献的论文。该研究由清华大学与中国科学技术大学的联合教授马杰，以及分别来自清华大学和中国科学技术大学的博士生申武杰和谢晟捷共同完成。

这篇论文对保罗·艾狄胥（Paul Erdős）在1947年提出的概率方法进行了指数级的改进，该方法是概率组合学的基石，并在近80年间未曾被根本性突破。

一枚硬币的80年难题

艾狄胥的方法简而言之，是通过对完全图的每条边抛掷硬币来着色，正面朝上为红色，反面朝上为蓝色。以此证明，在足够大的社交网络中，必然存在一个完全相互认识或完全互不认识的群体，且“足够大”至少是指数级的。

尽管对上界的研究不断推进，甚至在2023年将数值从约4提升至3.7992，但自艾狄胥提出以来，下界的底数近80年间一直未有改变。直到马杰团队提出了一个与球体相关的全新构想。

硬币方法的局限性

艾狄胥的硬币着色法具有每条边红蓝各半、完全独立的特点，分析简单，但它未能利用几何结构来限制单色团的形成，导致信息利用效率不高。

申武杰的创新在于将几何概念引入随机性。他提出了“随机球图”模型，即将n个节点随机置于高维球面之上，并根据两点间的距离分配边色——距离远者涂红，距离近者涂蓝。高维球面一个反直觉的特性是，在高维度下，几乎所有点都聚集在赤道附近，随机选取的两条径向线夹角几乎必定接近90度。这使得点对间的距离集中在一个狭窄的区间内，着色过程不再是完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，从而天然地抑制了大片单色团的产生。

然而，该模型也存在一个取舍：它降低了红色团出现的概率，因为要在球面空间中找到大量彼此远离的点以形成大的红色团变得困难，但同时，蓝色团出现的概率反而有所增加。

研究团队随后在小规模图上进行了验证，发现即使在数万种着色方案中，无团着色的概率依然大于零，表明收益确实抵消了代价。接下来的关键在于证明这一点，而证明的核心恰恰源于高维球面独特的几何性质。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，当两个参数的比例为1:2时，艾狄胥的硬币方法给出的下界底数是黄金比例(1+√5)/2，约等于1.618。马杰、申武杰和谢晟捷将此底数提升至(1+√5)/2 + 10⁻²¹，即小数点后20个零后跟着一个1。

虽然绝对数值的增幅极小，但关键在于指数的增长。Ramsey数是指数级增长的，即使底数仅仅增加了0.000000000000000000001，当k趋向无穷大时，新的下界将远远超越旧的下界。

近80年来，这一底数未曾被动摇。该研究不仅微小地提升了数值，更重要的是证明了艾狄胥的硬币方法并非最优着色方案。随机球图在结构上优于纯随机着色，揭示了概率方法远未达到其理论上限。这是自艾狄胥以来，该领域首次实现指数级改进，并为超越硬币方法提供了新的路径。不过，该方法仅在蓝色团大于红色团时有效，在两种颜色禁忌团大小相等（艾狄胥最初关注的对角线情形）时，新方法的优势则会消失。

学界反响热烈

该论文于2025年7月在arXiv预印本平台发布后，不到一周，组合数学领域的权威学者Gil Kalai便在其博客上发表长文，高度评价该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe也表示，一个熟悉的概念能够解决一个长期存在的问题，着实令人惊喜，并认为这项技术此前一直被忽视。

2025年12月，马杰在UCLA的合作导师Benny Sudakov及其学生证明，将模型替换为高斯随机图同样有效，无需使用球面，这一简化使得更多研究者能够参与到相关研究中。2026年初，该方法还被推广至多色Ramsey数问题。最终，文章于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。

清华“00后”博士生的直觉

马杰现任清华大学丘成桐数学科学中心及中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中国科大，2011年在佐治亚理工学院获得博士学位，师从Xingxing Yu。之后，他在UCLA担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，随后在卡内基梅隆大学进行博士后研究。2015年回国后，他先后在中科大和清华大学（YMSC和BIMSA）任职。他曾获得国家优青（2017年）和国家杰青（2022年），并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获ICA的Hall Medal，该奖项每年最多颁发两枚，专门表彰40岁以下的杰出组合数学家。

谢晟捷在高中时期曾获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二年级通过少创班提前进入中国科学技术大学。本科期间，他获得了丘赛团体铜牌。2023年，他选择留校攻读博士学位，师从马杰，在成果发表时为在读博士三年级。

申武杰，出生于2000年，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，导师为丘成桐。在成果发表时，他为在读博士四年级。他高中时期曾获得CMO三等奖，2018年考入北京大学数学科学学院。本科期间，他获得了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他直博进入清华大学。

在博士学习的前几个学期，申武杰主要研究几何与拓扑，与Ramsey理论并无交集。2024年春季，他偶然阅读了一篇关于Ramsey数的论文，深受启发，开始思考是否存在一种比艾狄胥硬币法更有效的随机模型，能够生成无团着色。2024年秋季，他将这一想法与到访清华授课的马杰交流，马杰的学生谢晟捷也加入了研究。三人花费一年时间，完成了长达40页的详细计算，最终完成了证明。马杰表示，他们非常幸运，感觉所有努力都得到了回报，但过程确实非常艰难。

AI解题与人类创造力

恰逢本论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的完整成果：在353个艾狄胥开放问题中攻克了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有成果均通过Lean形式化验证。其中，有两道题已悬置56年。

AlphaProof Nexus利用Gemini 3.1 Pro驱动的agentic loop，反复搜索证明路径直至形式验证器通过。然而，其本质是在已知框架内进行搜索。对此，陶哲轩曾评论道，AI是称职的助手，而非同行，它擅长在既有方法中进行扫描匹配，但缺乏提出原创想法的能力。

马杰团队的研究恰恰属于后者——他们并未直接解答艾狄胥的某个具体问题，而是升级了艾狄胥本人发明的核心方法。AI从艾狄胥的遗产中拆除了9堵墙，而这三位中国学者则重铸了他最引以为傲的“锤子”。在需要创造性洞察的数学前沿领域，人类的智慧目前仍不可替代。

结语

1947年，艾狄胥通过一枚硬币开创了概率组合学。近80年后，一位中国“00后”博士生提出“将节点置于球面上试试”，为这一领域带来了突破性的进展。